Le Problème de Luigi THIBAUD : Vers une Nouvelle Méthodologie pour l'Identification des Nombres Premiers dans une Alternance Arithmétique | The Luigi THIBAUD Problem: Towards a New Methodology for the Identification of Prime Numbers in an Arithmetic Alternation
Auteur : Luigi THIBAUD | Author: Luigi THIBAUD
Introduction
Le problème de Luigi THIBAUD pose une question fondamentale : la clé pour identifier les nombres premiers, à partir du nombre 5, réside-t-elle dans la révélation des propriétés cachées des nombres non premiers au sein d'une séquence alternée ? | The Luigi THIBAUD problem poses a fundamental question: does the key to identifying prime numbers, starting from the number 5, lie in revealing the hidden properties of non-prime numbers within an alternating sequence?
Méthodologie
Nous définissons une séquence numérique, notée \( L \), selon la formule suivante : | We define a numerical sequence, denoted \( L \), according to the following formula:
\( a_n = \begin{cases} 5 & \text{si } n = 1, \\ \text{"not displayable"} & \text{si } n > 1 \text{ et } n \equiv 0 \mod 5, \\ a_{n-1} + 2 & \text{si } n > 1 \text{ et } (n - 1) \mod 2 = 0 \text{ et } n \mod 5 \neq 0, \\ a_{n-1} + 4 & \text{si } n > 1 \text{ et } (n - 1) \mod 2 \neq 0 \text{ et } n \mod 5 \neq 0. \\ \end{cases} \)
Cette formule génère une séquence qui commence par le nombre 5 et continue en ajoutant alternativement 2 si le précédent \( n \) est pair (et donc le nouveau \( n \) est impair) et 4 si le précédent \( n \) est impair (et donc le nouveau \( n \) est pair), à l'exception des termes qui sont des multiples de 5, qui ne sont pas affichés, à l'exception du premier terme qui est 5. | This formula generates a sequence that begins with the number 5 and continues by alternately adding 2 if the preceding \( n \) is even (and thus the new \( n \) is odd) and 4 if the preceding \( n \) is odd (and thus the new \( n \) is even), except for terms that are multiples of 5, which are not displayed, with the exception of the first term which is 5.
Propriétés de la Séquence
La séquence \( L \) génère des nombres tels que 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. Elle est remarquable car elle pourrait théoriquement inclure tous les nombres premiers à partir de 5, bien qu'elle contienne également certains nombres non premiers. | The sequence \( L \) generates numbers such as 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. It is remarkable because it could theoretically include all prime numbers starting from 5, although it also contains certain non-prime numbers.
Définition de la Sous-Liste \( R \)
Nous introduisons une sous-liste \( R \), dérivée de \( L \), qui englobe tous les nombres non premiers de la séquence. Par exemple, si \( L \) est générée jusqu'à 130, \( R \) inclurait des nombres tels que 49, 77, 91, 119 et 121. | We introduce a sublist \( R \), derived from \( L \), that encompasses all non-prime numbers of the sequence. For example, if \( L \) is generated up to 130, \( R \) would include numbers such as 49, 77, 91, 119, and 121.
Objectif de Recherche
L'objectif est de développer une équation ou un ensemble de règles mathématiques pour identifier et éliminer tous les nombres de \( R \) sans recourir au test de primalité traditionnel par factorisation. | The goal is to develop an equation or a set of mathematical rules to identify and eliminate all the numbers from \( R \) without resorting to traditional primality testing by factorization.
Implications et Conclusion
La construction initiale de \( L \) élimine déjà tous les nombres pairs et les nombres divisibles par 5 (à l'exception du 5), ainsi que les nombres impairs qui ne sont jamais premiers. La résolution de ce problème pourrait mener à un algorithme optimisé pour générer des nombres premiers à partir de 5, sans nécessiter la factorisation traditionnelle, marquant ainsi un progrès significatif dans l'efficacité de la génération de nombres premiers. | The initial construction of \( L \) already eliminates all even numbers and numbers divisible by 5 (except for the number 5), as well as odd numbers that are never prime. Solving this problem could lead to an optimized algorithm for generating prime numbers starting from 5, without the need for traditional factorization, thus marking a significant advance in the efficiency of prime number generation.