La question présentée par Luigi THIBAUD : Étude des nombres composés dans un préfiltre arithmétique modulo 30 | The Question Presented by Luigi THIBAUD: Studying Composite Numbers in a Modulo 30 Arithmetic Prefilter

Auteur : Luigi THIBAUD | Author: Luigi THIBAUD

Introduction

Cette page présente la question suivante : peut-on caractériser et générer efficacement les nombres composés qui subsistent dans une suite de candidats premiers construite à partir d’une alternance arithmétique, sans factoriser individuellement chaque candidat ? Cette question est étudiée ici dans le cadre particulier d’un préfiltrage par 2, 3 et 5. | This page presents the following question: can we efficiently characterize and generate the composite numbers that remain in a sequence of prime candidates constructed from an arithmetic alternation, without factoring each candidate individually? This question is studied here in the specific setting of prefiltering by 2, 3, and 5.

Méthodologie

Nous définissons d’abord une suite numérique intermédiaire, notée \( A=(a_n)_{n\geq 1} \), qui commence par 5 et progresse en ajoutant alternativement 2 et 4. | We first define an intermediate numerical sequence, denoted \( A=(a_n)_{n\geq 1} \), which starts with 5 and progresses by alternately adding 2 and 4.

\( \begin{aligned} a_1 &= 5,\\[4pt] a_n &= \begin{cases} a_{n-1}+2 & \text{si } n\geq 2 \text{ et } n\equiv 0\pmod 2,\\[4pt] a_{n-1}+4 & \text{si } n\geq 2 \text{ et } n\equiv 1\pmod 2. \end{cases} \end{aligned} \)

La suite intermédiaire obtenue est : | The resulting intermediate sequence is:

\( A=(5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,\ldots). \)

Nous définissons ensuite \( L \) comme la sous-suite de \( A \) obtenue en supprimant tous les termes divisibles par 5, à l’exception du premier terme 5. Pour définir cette sous-suite sans ambiguïté, considérons l’ensemble des indices conservés : | We then define \( L \) as the subsequence of \( A \) obtained by removing every term divisible by 5, except for the first term 5. To define this subsequence unambiguously, let us consider the set of retained indices:

\( I= \left\{ n\in\mathbb{N}^{*} \;\middle|\; a_n=5\ \lor\ 5\nmid a_n \right\}. \)

Si \(n_1<n_2<n_3<\cdots\) sont les éléments de \(I\), nous définissons \(L=(\ell_k)_{k\geq 1}\) par : | If \(n_1<n_2<n_3<\cdots\) are the elements of \(I\), we define \(L=(\ell_k)_{k\geq 1}\) by:

\( \boxed{\ell_k=a_{n_k}}. \)

Nous obtenons ainsi la sous-suite : | We therefore obtain the following subsequence:

\( L=(5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,\ldots). \)

Pour chaque indice \( n\geq 2 \), le terme \( a_n \) est obtenu en ajoutant 2 au terme précédent lorsque \( n \) est pair, et en ajoutant 4 lorsque \( n \) est impair. Le filtrage est effectué sur la valeur \( a_n \), et non sur l’indice \( n \). | For each index \( n\geq 2 \), the term \( a_n \) is obtained by adding 2 to the preceding term when \( n \) is even, and by adding 4 when \( n \) is odd. The filtering is then applied to the value of each term \( a_n \), not to its index \( n \).

Propriétés de la sous-suite \(L\)

L’alternance \(+2,+4\) conserve exactement, à partir de 5, les entiers congrus à \(1\) ou \(5\) modulo 6 ; elle écarte donc les multiples de 2 et de 3. Le filtrage suivant écarte les multiples de 5, à l’exception de 5. L’ensemble des valeurs de \(L\) est ainsi caractérisé par : | The \(+2,+4\) alternation retains exactly, starting from 5, the integers congruent to \(1\) or \(5\) modulo 6; it therefore excludes multiples of 2 and 3. The following filter excludes multiples of 5, except for 5. The set of values of \(L\) is therefore characterized by:

\( \boxed{ \{\ell_k:k\geq 1\} = \{5\}\cup \left\{m\in\mathbb{N}:m\geq 7\ \text{ et }\ \gcd(m,30)=1\right\} }. \)

Tout nombre premier supérieur ou égal à 5 appartient nécessairement à \(L\), car un nombre premier supérieur à 5 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. La réciproque est fausse : certains nombres composés, notamment \(49,77,91,119\) et \(121\), appartiennent également à \(L\). La sous-suite \(L\) est donc une liste de candidats premiers, et non un critère de primalité. | Every prime number greater than or equal to 5 necessarily belongs to \(L\), because a prime greater than 5 is divisible by neither 2, 3, nor 5. The converse is false: some composite numbers, including \(49,77,91,119\), and \(121\), also belong to \(L\). The subsequence \(L\) is therefore a list of prime candidates, not a primality criterion.

Définition de l’ensemble \(R\)

Nous notons \(R\) l’ensemble des nombres composés qui subsistent dans \(L\). Cet ensemble possède la caractérisation constructive exacte suivante : | We denote by \(R\) the set of composite numbers that remain in \(L\). This set has the following exact constructive characterization:

\( \boxed{ R= \left\{ xy \;\middle|\; x,y\in\mathbb{N},\quad 7\leq x\leq y,\quad \gcd(x,30)=\gcd(y,30)=1 \right\} }. \)

Cette formule génère tous les nombres composés de \(L\), mais elle peut générer plusieurs fois un même nombre lorsqu’il possède plusieurs décompositions. Jusqu’à 130, on obtient notamment \(49,77,91,119\) et \(121\). Les nombres premiers supérieurs ou égaux à 5 sont alors exactement les valeurs de \(L\) qui n’appartiennent pas à \(R\). | This formula generates every composite number in \(L\), but it may generate the same number more than once when that number has several factorizations. Up to 130, it produces in particular \(49,77,91,119\), and \(121\). The prime numbers greater than or equal to 5 are therefore exactly the values of \(L\) that do not belong to \(R\).

Positionnement mathématique

La construction de \(L\) correspond à un préfiltre, ou à une roue, modulo 30. Ce principe est connu dans la théorie des cribles : il consiste à ne conserver que les classes de résidus premières avec 30. La stratégie générale consistant à produire les composés à éliminer, plutôt qu’à factoriser séparément chaque candidat, apparaît également dans plusieurs cribles classiques. La présente page expose donc une question et une démarche personnelles dans ce cadre particulier, sans revendiquer que le préfiltre initial ou la question générale soient historiquement nouveaux. | The construction of \(L\) corresponds to a modulo 30 prefilter, or wheel. This principle is known in sieve theory: it consists of retaining only residue classes that are coprime to 30. The general strategy of generating the composites to be removed, rather than separately factoring every candidate, also appears in several classical sieves. This page therefore presents a personal question and approach within this particular framework, without claiming that the initial prefilter or the general question is historically new.

Objectif de recherche

L’objectif n’est pas seulement de constater l’existence de \(R\), puisque sa caractérisation ci-dessus est connue. Il consiste à rechercher, dans cette représentation particulière, une règle ou un algorithme permettant de générer et d’éliminer efficacement les éléments de \(R\), en limitant les calculs redondants et sans factoriser individuellement chaque terme de \(L\). Toute proposition nouvelle devra être accompagnée d’une démonstration de correction, d’une analyse de complexité et d’une comparaison avec les cribles existants. | The objective is not merely to establish the existence of \(R\), since its characterization above is known. It is to investigate, within this particular representation, a rule or algorithm that can efficiently generate and eliminate the elements of \(R\), while limiting redundant computations and without individually factoring each term of \(L\). Any new proposal should be accompanied by a proof of correctness, a complexity analysis, and a comparison with existing sieves.

Conclusion

La construction présentée est mathématiquement cohérente : elle élimine les multiples de 2, de 3 et de 5, conserve tous les nombres premiers à partir de 5 et réduit l’espace de recherche aux entiers premiers avec 30. Elle ne permet toutefois pas, à elle seule, de distinguer tous les nombres premiers des nombres composés. Elle constitue donc un point de départ expérimental pour étudier l’élimination structurée des composés restants. Une éventuelle originalité mathématique devrait résider dans une nouvelle règle d’élimination démontrée ou dans un gain algorithmique mesurable, et non dans le préfiltre modulo 30 lui-même. | The presented construction is mathematically consistent: it eliminates multiples of 2, 3, and 5, retains every prime number starting from 5, and reduces the search space to integers coprime to 30. However, by itself it cannot distinguish every prime number from every composite number. It therefore provides an experimental starting point for studying the structured elimination of the remaining composites. Any mathematical originality would have to lie in a proven new elimination rule or in a measurable algorithmic improvement, not in the modulo 30 prefilter itself.